Hijo del violinista y profesor Michelangelo Abbado, así como hermano del compositor y pianista Marcello Abbado, Claudio aprendió piano con su padre y en el Conservatorio de Milán hasta 1955. Luego estudió dirección con Swarowsky en la Academia de Viena. Ganó en 1958 la Competencia Koussevitzky y después trabajó en distintos escenarios en las provincias italianas, así como enseñó en el Conservatorio de Parma.

Después de ganar en 1963 el Premio Mitropoulos, que le permitió un contrato de cinco meses con la Filarmónica de Nueva York, Abbado se hizo conocido rápidamente como director de orquesta y de ópera. Apareció en el Festival de Salzburgo de 1965, donde estrenó Atomtod de Giacomo Manzoni, y en 1968 debutó en el Covent Garden con Don Carlos, la primera ópera de Verdi que él condujo.

A partir de 1969 es director residente y desde 1971 director musical en La Scala, donde ayudó a elevar la calidad y a ampliar el repertorio de óperas y conciertos. Sus presentaciones incluyeron Wozzeck de Berg, combinada con producciones de la obra teatral de Büchner, así como notables interpretaciones de Simon Boccanegra, Aida, Un Baile de Máscaras y otras obras del repertorio italiano. Sus conciertos con la orquesta de La Scala incorporaron partituras de Mahler, Bruckner, Schoenberg, Nono, Berio, Stockhausen, Ligeti y Penderecki.

En 1971 fue nombrado director principal de la Filarmónica de Viena y en 1972 accedió a restringir sus apariciones en Inglaterra solamente con la Sinfónica de Londres, orquesta con la que trabajaba desde 1966 y que dirigió durante su visita al Festival de Salzburgo en 1973. Entre 1979 y 1988 fue director principal de la Sinfónica de Londres.

En 1986 tomó el cargo de director musical de la opera vienesa y de la Filarmónica de Viena. En 1987 fue nombrado director musical de la ciudad de Viena y en 1988 fundó el festival Wien Modern. En 1994 se convirtió en director artístico del Festival de Pascua de Salzburgo y recibió el premio Ernst von Siemens en Berlín. Desde 1989 es director principal y director artístico de la Filarmónica de Berlín. También ha sido fundador y director de la Orquesta Juvenil Europea (1978) y de la Orquesta Juvenil Gustav Mahler (1986).

Las grabaciones de Abbado son numerosas e incluyen notables versiones de las sinfonías de Brahms y de Mahler, de la obra Como una Ola de Fuerza y Luz escrita para él y Mauricio Pollini por Luigi Nono, así como del ciclo Altenberg Lieder, de la suite Lulú y de las Tres Piezas Orquestales de Alban Berg. Pero Abbado dirige un amplio repertorio con impresionante firmeza rítmica, una tensión sostenida y una preocupación por el detalle.

Entre los numerosos premios y honores que ha recibido están el Evening Standard Opera Award por su Boris Godunov en el Covent Garden, la Legión d’Honneur del gobierno francés, la Gran Croce de Italia y el Bundesverdienstkreuz (1992), el más alto honor civil alemán. La Filarmónica de Viena le otorgó el Anillo de Honor en 1973 y la medalla Golden Nicolai en 1980. En 1980 recibió la medalla de oro de la Sociedad Internacional Gustav Mahler en reconocimiento a su servicio a la música de Mahler. Además ha recibido doctorados honorarios de las universidades de Cambridge, Aberdeen y Ferrara.

El 23 de abril de 2006, la Junta de Patronos de la Escuela Superior de Música Reina Sofía ha acordado otorgar el Premio Yehudi Menuhin a la Integración de las Artes y la Educación en su sexta edición al maestro Claudio Abbado.